Quadratur des Kreises?

Gärtnerlogik macht leider vor Nichts halt. Deshalb bitten wir nun den geneigten Leser um Aufmerksamkeit für eine interessante Sache. Es ist ein zweitausend Jahre altes Rätsel, dessen Lösungsversuch der Überprüfung Bedarf. Die Quadratur des Kreises.

Die Überraschung mit unverhofftem Garten-Wissen war schon immer ein zentrales Element unserer Website. Doch nun müssen wir mal etwas loswerden, das rein gar nichts mit diesem Thema zu tun hat. In aller Demut veröffentlichen wir hiermit etwas Unglaubliches. Ein Gedanke von dem wir hoffen, dass ihn einer unsere Leser entweder bestätigen oder widerlegen kann. Denn das Ergebnis ist völlig egal, wenn eine neue Idee auch zu neuem Denken anregt. Vermutlich ist nämlich die Grundannahme der Unlösbarkeit falsch und gibt das Rätsel wieder für Lösungsversuche frei.

Denkanstoss zur Quadratur des Kreises

Es gibt drei verschiedene mathematische Rätsel, die bewiesenermaßen nicht lösbar sind. Das ist die sogenannte Würfeldoppelung, die Winkeldrittelung und die Quadratur des Kreises.
Was aber, wenn die Begründung des Unlösbarkeitsbeweises erst gar nicht stimmt?
Das trifft auf mindestens eine dieser klassischen Aufgaben zu, wie gleich am Beispiel der Quadratur des Kreises deutlich werden wird.

Die Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung ist, nur mit Zirkel und unbemaßtem Lineal aus einem beliebigem Kreis ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu kunstruieren. Aber da die Kreiszahl Pi eine transzendente Zahl darstellt, sei das unmöglich. Der Ausdruck transzendent meint, dass Pi nicht faßbar ist, weil ihre Kommastellen bis ins Unendliche gehen. Also 3,1415926535............ und immer so weiter.

Gegenbeweis der Unmöglichkeit

Der Fehler der Unlösbarkeisbegründung liegt in der Annahme der Transzendenz. Denn diese Transzendenz findet ausschließlich in der Berechnung als Zahl statt. Auf dem Papier gezeichnet ist Pi definitiv endlich, daran gibt es nichts zu rütteln.
Denn zeichnet man einen Kreis mit dem Durchmesser von Eins und rollt ihn einmal ab, ist die Strecke ganz genau Pi. Und zwar bis auf die letzte Kommastelle genau, und auch dann, wenn es gar keine letzte Stelle gibt. Pi also -wohlgemerkt als Zahl- unendlich ist.
Demnach ist Pi als Zeichnung unanzweifelbar endlich und keinesfalls transzendent - womit die Begründung der Unlösbarkeit zwingend falsch sein muss.

Vermischte Denksysteme

Als Beispiel führe ich folgende Aufgabe an:

  • Teilen Sie per Bruchrechnung die Zahl 1 durch 3. Nun erhält man als Ergebnis ein Drittel. Ein Drittel multipliziert mit 3 ergibt wieder 1.
  • Nun teilen wir mit Dezimalzahlen die Zahl 1 durch 3. Man erhält die Zahl 0,333333333......Periode. Die Dreien hinter dem Komma setzen sich also bis ins Unendliche fort. Multipliziert man aber 0,333333333......Periode wieder mit 3 erhält man niemals wieder die Zahl 1.

Folglich ist das Drittel der realen Zahl Eins durch das angewendete Denksystem plötzlich transzendent geworden.

Die Vermutung

Wenn Pi in einer Kreiszeichnung endlich ist, ist Pi darin auch sichtbar. Demnach könnte sich der selbe Flächeninhalt wie der des Kreises durch eine bestimmte Linienführung ebenfalls sichtbar machen lassen. Der Versuch dessen ist in der beiliegenden Kostruktionszeichnung realisiert.

Die Erstellung der Konstruktionszeichnung

Das Original wurde mit der größtmöglichen Sorgfalt im Programm Inkscape erstellt. Dessen Zoomfaktor endet bei 25600%, zeigt jedoch bis dahin eine hundertprozentige Übereinstimmung der Kreuzungspunkte. Um noch höhere Genauigkeit zu erreichen wurden nicht die Linien-Mitten, sondern eine der jeweiligen Außenseiten als Referenz definiert.
Doch Inkscape arbeitet nur bis auf die dritte Kommastelle genau. Demnach sind die berechneten Maße mit Pi=3.1415926535 :

  • großer Kreis Durchmesser = 100mm
  • großer Kreis Flächeninhalt = 78,53981633975 cm2
  • Seitenlänge des flächengleichen Quadrates = 88,62269254527872mm

Die durch Inkscape gerundete Seitenlänge des flächengleichen Quadrates beträgt demnach 88,623mm. Genauer geht es mit diesem Programm leider nicht.

Erklärung der Konstruktion

  • man zeichne einen Kreis mit beliebigem Durchmesser.
  • man zeichne einen zweiten Kreis mit dem selben Durchmesser daneben.
  • man setze beide Kreise in Quadrate und ermittle an der Oberkante deren Mitte.
  • von diesem Punkt aus ziehe man einen kleineren Kreis bis zur Tangente der großen Kreise.
  • um diesen kleineren Kreis konstruiere man ein Quadrat und drehe es um 45° (hellgrün).
  • Nun ziehe man eine Linie vom Mittelpunkt des rechten Kreises durch den Schnittpunkt des kleineren Kreises mit der Mittelsenkrechten (rot).
  • Man ermittle den Schnittpunkt zwischen der roten Linie und des um 45° gedrehten Quadrates (rot und hellgrün)
  • Dieser Schnittpunkt, verlängert auf den linken Anfangspunkt des linken Kreises ergibt innenliegend die Seitenlänge eines flächengleichen Quadrates (grasgrün).

Der Gegenbeweis des Gegenbeweises

Ist kaum zu erbringen, denn der Flächeninhalt eines aus einem Kreis resultierenden Quadrates muss mit derzeit "herkömmlichen" Mitteln berechnet werden. Also mit der tatsächlich transzendenten Dezimalzahl Pi. Das heißt das Ergebnis dieser Berechnung ist unvollständig und damit bereits falsch.
Daraus ergibt sich, dass die vorliegende Zeichnung möglicherweise die erste richtige Lösung sein könnte. Denn für aus Pi berechntete Dezimalzahlen ist das bereits ausgeschlossen, weil damit lediglich eine Annäherung möglich ist. Nur die Konstruktion auf dem Papier mit endlichen, nicht transzendenten Strecken kann ein korrektes Ergebnis hervorbringen. Ob der vorliegende Lösungsansatz zutreffend ist, steht nun zur Debatte.

Verblüffende Konsequenz

Die vorgeschlagene Konstruktionszeichnung muss unweigerlich noch mit präziseren Methoden oder Programmen überprüft werden, als es im vorliegenden Fall möglich war. Doch selbst wenn sich der Lösungsansatz als nicht zutreffend erweist, darf nach über 2000 Jahren wieder über das Unmögliche nachgedacht werden. Denn ohne jeden Zweifel entfällt mit der oben angeführten Begründung die vorgebliche Unlösbarkeit. Pi ist auf dem Papier NICHT transzendent und fordert deshalb jeden dazu auf sein Denken nicht von alten Dogmen begrenzen zu lassen.

(Bilder zum Vergrößern Anklicken.) Als PDF-downloaden

Rote und Hellgrüne Linie kreuzen sich und werden von dort aus auf die Basis des linken Kreises verlängert. Die innenliegende Strecke entspricht als Quadrat dem Flächeninhalt des Kreises.

Detailansicht der Kreuzungspunkte. Nur die Oberseite der roten Linie und die Unterseite der hellgrünen Linie sind relevant.